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算術平均と幾何平均

ここでは、月次騰落率の数字の扱い方について考えていきます。

平均って?

さて、皆さんは、すでに平均という計算については熟知されていると思います。一般的に平均というと算術平均を指しますが以下のような計算です。

平均=(X1+X2+X3+,,,,,Xn)/n

ええ、単純です。対象となるデータを全部足してデータの数で割るだけです。プログラムやデータベース、エクセルなど、いたるところでAVGやAverageといった関数がありますし、ふだんでも良く使いますね。

ここで、議論したいのは、月次騰落率を単純に平均しちゃっていいのか?というポイントです。

 

月次騰落率と年次騰落率の関係

ここに、あるファンドの一年間の成績があります。(実際には13か月分の価格データから求めた12か月分の月次騰落率)このファンド仮にTONE-fundの成績が以下のようだったとします。

1月

+0.3%

2月

-0.1%

3月

+1.0%

4月

+1.5%

5月

-2.0%

6月

+0.5%

7月

+0.3%

8月

-0.2%

9月

+1.0%

10月

+0.6%

11月

-1.0%

12月

+0.5%

このデータを単純に算術平均すると、平均月0.2%という答えが得られます。
ちょうど1年間のデータですから、年次騰落とも合うはずですね。
それでは、このTONE-fundの価格推移を見てみましょう。TONE-fundは前年末時点の価格が100だったとします。

 

1月

+0.3%

100.3

2月

-0.1%

100.1997

3月

+1.0%

101.201697

4月

+1.5%

102.7197225

5月

-2.0%

100.665328

6月

+0.5%

101.1686546

7月

+0.3%

101.4721606

8月

-0.2%

101.2692163

9月

+1.0%

102.2819085

10月

+0.6%

102.8955999

11月

-1.0%

101.8666439

12月

+0.5%

102.3759771

はい、102.376という価格になりました。先ほど、算術平均で求めた0.2%をどういじると102.376という価格が得られるのでしょう。0.2%を12倍してみても2.4%で微妙に合いません。また、毎月の掛け算になるのだから、(1+0.002)12で求めると1.024265768となり、これまた、微妙に違います。

もうお分かりですね。もともとの月次騰落率の平均値の求め方が間違っていたのです。毎月の価格変動を率に直したものですから、単純な足し算ではなく、掛け算の関係になるのです。

 

算術平均(相加平均)と幾何平均(相乗平均)

算術平均は相加平均ともいい、データを全部足して、データの数で割ったものです。
それに対して、幾何平均というのは、相乗平均ともいい、以下の式で表現されます。

月次騰落率をRとすると。

平均月次騰落率={(1+R1)×(1+R2)×(1+R3)×,,,,,(1+Rn)}1/n-1

年次騰落率=(1+平均月次騰落率)12-1

こういう計算式で求めた平均月次騰落率は0.196%と求められます。逆に年率を求めるとぴったり2.376%となります。
はい、これで、正確な平均月次騰落率を求めることが出来ました。


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